Математика обладает некоторой привлекательностью даже среди людей, которые на словах отвергают или говорят, что это совершенно не их тип мышления. Но логическое мышление языком математики тесно связано с интуицией и позволяет сделать множество удивительных научных открытий: от фракталов и жидких кристаллов до черной дыры в центре галактики.

Математическая логика и интуиция

Можно упомянуть огромное количество областей, в которые математика успела каким-либо образом проникнуть. Например, композитор Ксенакис, который писал музыку, руководствуясь стохастическим анализом сложных систем и таким образом планируя композицию произведения.

Отчасти это хохма, но она говорит о том, что математика отображает некоторые интуитивно понятные нам вещи. По крайней мере, с них она начинает, а дальше двигается очень далеко.

Если всерьез считать, что наука математика началась со счета, то в этом случае всё понятно: 1, 2, 3, 4, 5 – перед нами натуральный ряд чисел. И дальше вступает в силу рассуждение и задавание вопросов: «А сколько всего чисел?», «А закончатся ли они когда-нибудь?».

Затем мы начинаем осознавать, что чисел нам не хватает, и нужно использовать пресловутые дроби, комплексные числа, включающие в себя мнимую единицу и т.д.

И потом уже выясняется, что из глубокой теории функций комплексных переменных следую выводы, касающиеся простого счёта. К примеру, плотность появления простых чисел (1,2,3,5,7,11…). Вопрос простой, а метод, который пришлось развить, уводит очень далеко.

В этом смысле, математика занимается продолжением нашей интуиции. Она даёт нам логические подпорки простейшей логике, уводя так далеко, где сама интуиция уже забывается и практически не работает. На этом уровне мы начинаем руководствоваться формальными правилами.

Цена этого явления заключается в том, что мы вынуждены принимать неожиданные следствия. Классический пример: апория Зенона об Ахиллесе и черепахе, где приведено рассуждение о том, чего очевидно в жизни не происходит. Смысл апории Зенона состоит в том, что люди тренировались придумывать рассуждения и отбирать имеющие отношение к нашему миру.

Открытие черных дыр

Еще один пример. Общекультурным понятием в последнее время стала черная дыра. Сперва, ее существование было предсказано теорией относительности Эйнштейна математической формулой, и лишь спустя полвека нашлись экспериментальные подтверждения данному феномену.

На сегодняшний день любой астрофизик подтвердит, что в центре нашей галактики Млечный путь располагается огромная черная дыра. И обсуждаются уже ее характеристики: масса, свойства, косвенные признаки ее существования и т.д.

Людей перед запуском Большого адронного коллайдера пугали, что маленькие черные дыры начнут летать всюду и пожрут всю планету. В черной дыре останавливается время, куча странных свойств. Учёные принимают их, так как свойства логически следуют из принятых в математике законов игры.

Гостиница Гильберта (парадокс Гранд-отеля)

Порой выводы кажутся абсурдными. Например, теория множеств утверждает существование иерархий бесконечностей, где есть сложные бесконечности, в бесконечное количество раз более сложные, чем простые.

Имеются странные вещи вроде парадокса Гильбертова отеля (Гранд-отель). Если перед вами гостиница с бесконечным числом номеров, в которой каждый номер заполнен, то вы ВСЕГДА в нём поселитесь. Суть состоит в том, что постояльцев из комнаты №1 переведут в комнату №2, постояльцев из №2 переселят в №3 и т. д.

Вам конечно достанется номер №1, и при этом никто не останется без жилья – нет последнего постояльца. При этом если имеется бесконечное количество таких Гранд-отелей, в них всех внезапно отключается электричество и все жители вдруг приходят в один бесконечный отель, то они всё равно все поместятся!

Мы наблюдаем нарушение интуиции: бесконечное количество бесконечных гостиниц равно по размерам одной такой гостинице. Но есть, говорит нам Кантер (хотя гостиницы и называются Гильбертовыми), и другая бесконечность, лежащая заметно выше вышеописанной. Она не может поместиться ни в каком количестве Гранд-отелей.

История открытия фракталов

По такому же принципу мы принимаем фракталы. Логический анализ говорит, что можно соединить две размерности пространства рассуждением, близким отчасти рассуждению Кантера, о бесконечном, вывернутом наоборот.

Получаются фракталы – вещи дробной размерности. После того, как ученые их открыли средствами ума, появились чрезвычайно интересные вопросы: «А где фракталы реализуются в природе?». Часть вещей типа структуры снежинок дает представление о сущности фракталов.

Это давняя традиция, идущая со времен апории Зенона, утверждает принцип отношения ко всему на свете объективно и не предвзято. Данный принцип может позволить открыть куски реальности, описываемые ровно такими рассуждениями.

От мозаики Пенроуза до жидких кристаллов

Каждый человек, который ходит по паркету, знает, что достаточно взять какие-нибудь квадратики и ими замостить всю плоскость, или замостить шестиугольниками. Математически были предсказаны и открыты замощения Роджера Пенроуза, когда нет никакой периодичности и хотя бы одного повторявшегося куска.

Это некое бедствие производителя подобного узора, потому что он не может штамповать, повторяя один и тот же кусок. Тем не менее вся плоскость заполнена фигурками 2 типов, но при этом неизвестно, как они лягут в следующий раз.

И уже после открытия мозаики Пенроуза был найден кусок реальности, чрезвычайно близкий по реализации к открытым относительно недавно в конце 20 века жидким кристаллам — веществам с переменчивым фазовым состоянием. Но о них мы поговорим в следующих статьях. Любите науку, читайте ВикиНауку!

Видео «Математика и интуиция» д. ф.-м. н. Алексея Семихатова: